Tổ hợp chập 2 của 3 bằng bao nhiêu
Công thức tính số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử và một số tính chất liên quan. Công thức tính Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đượ...
Công thức tính số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử và một số tính chất liên quan. Công thức tínhSố tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử được kí hiệu là $C_n^k$ hoặc phổ biến hơn ở các sách tiếng Anh là ${n \choose k}$. Ta có công thức $$C_n^k=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k.(k-1)...1}.$$ Với kí hiệu giai thừa $p!=p(p-1)...1$ thì ta có thể viết lại $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$ trong đó $0\le k \le n$. Ví dụa) $C_6^3=\dfrac{6.5.4}{3.2.1}=20,$b) $C_9^5=\dfrac{9.8.7.6.5}{5.4.3.2.1}=126,$ c) $C_{100}^2=\dfrac{100.99}{2.1}=4950.$ Tính chất cơ bảna) $C_n^0=C_n^n=1$b) $C_n^1=C_n^{n-1}=n$ c) $C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}$ d) $C_n^k=C_n^{n-k}$ e) $C_n^k=\dfrac{n-k+1}{k}C_n^{k-1}$ f) $C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n$ Ý nghĩa tính chất f): tổng số tập con của một tập có $n$ phần tử. Công thức Pascal$$C_n^k=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}.$$ Ví dụ.a) $C_7^3+C_7^4=C_8^4=70,$ b) $C_9^5+C_9^6=C_{10}^6=210.$ Từ công thức Pascal và khai triển nhị thức Newton, ta có tam giác Pascal đã đề cập trong bài trước.  Xem thêm: Công thức chỉnh hợp, hoán vị Trong toán học, tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự. Ví dụ: Có 3 quả gồm: {Táo, Lê, Cam}. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 quả trong 3 quả trên? Với trường hợp này có thể dễ dàng đếm được có 3 cách chọn 2 quả từ 3 quả trên. Đó là: {Táo,Lê}; {Táo,Cam}; {Lê,Cam}. Ta gọi đây là tổ hợp chập 2 của 3 phần tử. Công cụ tính tổ hợp online 2023Công cụ tính tổ hợp online này không chỉ giúp bạn tính ra kết quả của phép tính tổ hợp chập k của n phần tử mà còn giúp bạn liệt kê ra tất cả các phép chọn với kích thước là k trong tổ hợp n phần tử. Ví dụ: nếu bạn có một tập hợp từ 3 phần tử, {A, B, C}, tất cả các kết hợp có thể có của kích thước 2 sẽ là {A, B}, {A, C} và {B, C}. Tức là sự kết hợp ở đây là sự kết hợp của k lấy n tại một thời điểm mà không lặp lại. Tổng số các kết hợp có thể có, như được hiển thị trong Tổ hợp - kết hợp, sắp xếp và hoán vị, là Để sử dụng trình tạo kết hợp ở trên, bạn cần điền vào tập hợp (theo mặc định nó bao gồm các phần tử A, B, C, D và E) và chọn kích thước kết hợp. Tất cả các kết hợp sẽ được tạo bằng cách sử dụng một thuật toán. Nếu bạn không cần liệt kê một danh sách các phần tử cụ thể và danh sách các lựa chọn mà chỉ cần tính kết quả của phép tính tổ hợp chập k của n phần tử, hãy sử dụng công cụ tính tổ hợp online ở tab thứ hai. Ứng dụng của công cụ tính tổ hợp online này, bạn có thể áp dụng trong việc chia nhóm một cách nhanh chóng dựa vào các cách sắp xếp khác nhau của các phần tử. công cụ, tiện ích, web, app, phần mềm tính tổ hợp online, chọn k phần tử trong n phần tử, số tổ hợp chập k của n phần tử, tổ hợp chập 3 của 5 Tổ hợp chập k của n là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Trong đó, công thức tính tổ số tổ hợp chập k của n khá phức tạp. Vì vậy, để làm được dạng bài tập này thì các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và bài tập tổ hợp chập của n qua bài viết sau đây. 1. Tổ hợp chập k của n phần tử là gì?Tổ hợp chập k của n phần tử là số gồm k phần tử được từ n phần tử mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp của các phần tử. 2. Công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử và ví dụ2.1. Cách tínhTổ hợp chập k của n phần tử được được kí hiệu là $C_{n}^{k}4$ Ta có cách tính tổ hợp chập k của n như sau: $C_{n}^{k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k.(k-1)...1}$ Ngoài ra với kí hiệu giai thừa thì p!=p(p-1)...1 ta viết lại như sau: $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 2.2. Ví dụGiải bài tập số tổ hợp chập k của n phần tử a, $C_{6}^{3}=\frac{6.5.4}{3.2.1}=20$ b, $C_{9}^{5}=\frac{9.8.7.6.6}{5.4.3.2.1}=126$ c, $C_{100}^{2}=\frac{100.99}{2.1}=4950$ 3. Một số tính chất liên quan3.1. Tính chất cơ bảnCác tính chất cơ bản của tổ hợp chập k của n như sau: 1. $C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1$ 2. $C_{n}^{1}=C_{n}^{n-1}=n$ 3. $C_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{2}$ 4. $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$ 5. $C_{n}^{k}=\frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}$ 6. $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=n^{2}$ 3.2. Công thức Pascal$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}$ Ví dụ: $C_{7}^{3}+C_{7}^{4}=C_{8}^{4}=70$ $C_{9}^{5}+C_{9}^{6}=C_{10}^{6}=210$ 4. Một số bài tập tính tổ hợp chập k của n phần tửVí dụ 1: Ban chấp hành đoàn có 7 người, cần chọn 3 người vào trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của ba người trong ban thường vụ thì sẽ có bao nhiêu cách chọn? Giải: Vì không xét sự phân biệt chức vụ của 3 người trong ban thường vụ vì vậy mỗi cách chọn ứng với một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Ta có: $C_{7}^{5}=\frac{7!}{2!.5}=35$ cách Vậy ta có 35 cách để chọn ban thường vụ. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng sẽ có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ 4 đường thẳng phân biệt và song song với nhau. Và 5 đường thẳng phân biệt vuông góc với 4 đường thẳng song song đó. Giải: Cứ 2 vuông góc với 2 đường thẳng song song với chúng cắt nhau ở 4 điểm là 4 đỉnh của hình chữ nhật. Lấy 2 đường thẳng trong 5 đường thẳng vuông góc với 4 đường đó và lấy 2 đường thẳng trong 4 đường thẳng song song ta có số hình chữ nhật là: $C_{4}^{2}. C_{5}^{2}=60$ Vậy sẽ có 60 hình chữ nhật thỏa mãn. Ví dụ 3: Một băng ghế có 5 chỗ và xếp 5 người vào. Hỏi sẽ có bao nhiêu cách? Giải: Ta có mỗi cách đổi chỗ một trong 5 người trên chiếc băng ghế là một hoán vị. Vậy sẽ có P = 5! = 120 cách. Trên đây là toàn bộ công thức tính tổ số tổ hợp chập k của n và các dạng thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết này các em có thể tự tin khi làm bài tập phần này. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 12, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé! |
